تبلیغات
منظومه شمسی ما - مثلثات کروی
آشنایی با نجوم و منظومه شمسی

مثلثات کروی

سه شنبه 23 شهریور 1395 11:26 ق.ظ

نویسنده : شفیعی
ارسال شده در: نجوم ،

مثلثاث کروی

یکی از قدیمی ترین شاخه های دانش ستاره شناسی, نجوم کروی است. با عنایت به اینکه گفتیم برای حل بسیاری از مسایل ستاره شناسی, می توانیم تمام اجرام سماوی را روی یک کره فرضی بنام کره سماوی در نظر بگیریم, اهمیت نجوم کروی در محاسبات, روشن تر می شود. سابقه این رشته به 4000 سال پیش باز می گردد ولی هنوز در بسیاری از موارد نقش کلیدی را ایفا می کند.

دایره عظیمه

روی سطح یک کره می توان دوایر فرضی متعددی را در نظر گرفت. این دوایر به صورت نامحدود و با اندازه های مختلف قابل تصورند. به آن دسته از دوایری که مرکز آنها منطبق بر مرکز کره باشد, دایره عظیمه گفته می شود. پر واضح است از آنجا که شعاع دایره عظیمه مساوی شعاع کره است, محیط این دایره از تمام دوایر فرضی دیگر بزرگتر است و از اینرو نام آن را دایره عظیمه گذاشته اند. 
کوتاه ترین فاصله بین دو نقطه واقع بر روی یک کره, قوس دایره عظیمه ای است که از آن دو نقطه عبور می نماید. این اصل هندسه کروی متناظر اصلی است که در هندسه مسطح برای کوتاهترین فاصله بین دو نقطه داریم, یعنی: کوتاهترین فاصله بین دو نقطه خط راستی است که از آن دو نقطه عبور می نماید. با توجه به این اصل در هندسه کروی, دید محاسباتی ما در بسیاری از مسایل مبتلی به عوض می شود. یکی از مهمترین موارد استفاده از این اصل, محاسبه جهت قبله است. که در ادامه توضیح بیشتری در باره آن خواهیم داد.

مثلث کروی

مثلث کروی مثلثی روی سطح کره است که هریک از اضلاع آن دوایر عظیمه باشند. این مثلث از سه زاویه تشکیل می شود که معمولا با حروف بزرگ انگلیسی نمایش داده می شوند, مثلا می گوییم زوایای : A و B و C و دارای سه ضلع است که هرکدام وترهایی از دوایر عظیمه هستند که معمولا با حروف کوچک انگلیسی نمایش داده می شوند, مثلا: a و b و c . 
مثلث کروی دارای خواصی متفاوت با مثلث مسطح است. از جمله:
  • مجموع سه زاوی یک مثلث کروی از 180 درجه بیشتر و از 270 درجه کمتر است.
  • اگر مجموع دو ضلع یک مثلث کروی برابر 180 درجه باشد, مجموع زوایای روبروی آنها نیز برابر 180 درجه خواهد بود. 
    در هر مثلث کروی اگر از مجموع شش ضلع و زاویه, سه عنصر معلوم باشد, می توانیم بقیه عناصر را نیز محاسبه نماییم. ریاضیدانان روابط زیادی بین عناصر یک مثلث کروی به اثبات رسانده اند که در صورت تمایل می توانید برای شرح این روابط و طریقه اثبات آنها و مثال های متنوع در حل مثلث کروی, به منابع مفصل نجومی1 مراجعه نمایید. در اینجا به ذکر دو رابطه زیر بسنده می کنیم:

      1- رابطه کسینوس:
    cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A   

    2- فرمول های محاسبه نصف مجموع و یا تفاضل دو زاویه: 
     
    tan (A+B)/2 =cos (a-b)/2 cot C/2

    cos (a+b)/2


    tan (A-B)/2 =  sin (a-b)/2 cot C/2

    sin (a+b)/2
      

    برای سهولت درک روابط بالا یک مثال برای هریک از آنها می زنیم: 
    در شامگاه روز جمعه 17 دیماه 1378 مطابق با 29 رمضان 1420 , طبق استخراج برنامه نجوم اسلامی, بهنگام غروب آفتاب, تفاوت ارتفاع ماه و خورشید 92/6 درجه و اختلاف سمت آنها معادل 83/3 درجه است. فاصله ماه و خورشید از دید ناظر زمینی چند درجه است؟ 
    در مثلث کروی که یک ضلع آن ارتفاع ماه و ضلع دیگر آن اختلاف سمت ماه و خورشید است, ضلع سوم نشان دهنده فاصله زاویه ای ماه و خورشید از دید ناظر زمینی است. چون ضلع ارتفاع بر دایره افق عمود است, داریم : 90A = , با استفاده از فرمول کسینوس داریم: 
     

    cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

    cos a = cos 92/6 cos 83/3 + sin 92/6 sin 83/3 cos 90 = cos 92/6 cos 83/3 = 9904/0 

    a = 90/7?

    کاربرد مثلثات کروی در قبله یابی

    یکی از موارد مهم استفاده از مثلثات کروی, مبحث تعیین قبله است. چنانچه می دانید در بسیاری از احکام شرعی, رعایت جهت قبله لازم است. از آنجا که خداوند کریم از رو به قبله کردن اینگونه تعبیر نموده که: "فول وجهک شطر المسجد الحرام" , با فرض کروی بودن کره زمین , متفاهم عرفی از روکردن به مکانی بر روی کره , انتخاب کمترین فاصله تا آن مکان است. با توجه به اصلی که در مثلثات کروی برای تعیین نزدیکترین فاصله روی کره ذکر کردیم, برای تعیین قبله هر نقطه از کره زمین باید دایره عظیمه ای که از آن نقطه و مسجد الحرام می گذرد, بیابیم و با تعیین زاویه انحراف دایره عظیمه از نصف النهار شهر مورد نظر, زاویه انحراف قبله آن مکان را نسبت به شمال و جنوب جغرافیایی پیدا کنیم. با استفاده از این روش جهت قبله صحیح هر نقطه به دست می آید. جهت قبله بدست آمده ممکن است با ارتکازات ابتدایی ما همخوان نباشد. مثلا جهت قبله در آمریکا و کانادا به سمت شمال شرقی محاسبه می شود, در صورتیکه در نقشه مسطح, جهت جنوب شرقی صحیح می نماید. با کمی تامل و با در نظر گرفتن کروی بودن کره زمین, می توانیم به صحت اعتبار جهت شمال شرقی در قبله آمریکا و کانادا پی ببریم.
    فرض کنید می خواهیم جهت قبله نقطه ای مانند قم با عرض جعرافیایی 34 درجه و 39 دقیقه و طول جغرافیایی 50 درجه و 54 دقیقه را بیابیم. عرض جغرافیایی مسجد الحرام را معادل 21 درجه و 27 دقیقه و طول جغرافیایی آن را برابر 39 درجه و 49 دقیقه در نظر می گیریم. با استفاده از رابطه دومی که در مثلثات کروی ارایه دادیم, خواهیم داشت:

       


    tan (A+B)/2 =cos (a-b)/2 cot C/2

    cos (a+b)/2


    tan (A-B)/2 =  sin (a-b)/2 cot C/2

    sin (a+b)/2


    با حل این دستگاه دو معادله دو مجهول می توانیم زاویه B که همان انحراف جهت قبله از شمال است را بدست آوریم. بدین ترتیب که :

    a = 35/55 = فاصله زاویه ای قم از قطب 
    b = فاصله زاویه ای مکه از قطب = 55/68 
    C = 1/11= اختلاف طول جغرافیایی دو نقطه

     
    tan (A-B)/2 =  -sin (35/55 - 55/68) / 2 cot 55/5 = - 34/1

    sin (35/55 + 55/68) / 2


    tan (A+B)/2 = cos (35/55 - 55/68) / 2 cot 55/5 = 73/21

    cos (35/55 + 55/68) / 2

    زاویه B برابر 7/140 محاسبه می شود بنا بر این قبله قم 2/39 درجه از جنوب به سمت غرب محاسبه می شود.



    1 در این زمینه مراجعه نمایید به: 
    ماشاء الله احیایی, کاربرد علوم در قبله یابی.- تهران: انتشارات امیرکبیر, 1367. 
    و. م. اسمارت, نجوم کروی, ترجمه داود محمدزاده جسور.- تهران: مرکز نشر دانشگاهی, 1375. 
    ا.ای.ری و دی.کلارک, ستاره شناسی: اصول و عمل, ترجمه سید احمد سیدی نوقابی.- مشهد: معاونت فرهنگی آستانقدس رضوی, 1366.



  • دیدگاه ها : نظرات
    برچسب ها: نجوم ، تعیین قبله ، نجوم کروی ،
    دنبالک ها: منبع ،
    آخرین ویرایش: - -